martes, 15 de junio de 2010

FUERZAS CONCURRENTES_RESOLUCION

FUERZAS CONCURRENTES_RESOLUCION

De los tres sistemas de fuerzas (colineales, concurrentes y paralelas) los que mas problemas traen a mis alumnos, son los sistemas de fuerzas concurrentes, por ello es le primer sistema de fuerzas que analizaré.

Existen dos formas de resolver un sistema de fuerzas concurrrentes, el analítico y el gráfico.

Método Analítico

Los pasos que seguiré, con un ejemplo, son los siguientes :

1 ) Descomposición de las fuerzas, segun los ejes cartesianos ortogonales (perpendiculares) " X " e " Y " mediante trigonometria (seno y coseno)

2 ) Sumatoria (suma o resta) de las fuerzas colineales (sobre los ejes) para obtener las resultantes " Rx " y " Ry " sobre cada eje.

3 ) Composición de estas dos fuerzas ( Rx y Ry ) por pitagoras, para hallar el modulo o valor de la resultante " R " .

4 ) Calculo del ángulo ( dirección ) que la resultante forma con el eje de las " X " ( ω ) con la función tangente.

Para descomponer una fuerza segun los dos ejes coodenador o cartesianos, debemos entender que entre la fuerza y sus componentes (que la van a sustituir o reemplazar) forman un triángulo rectangular.

Es asi, que para encontrar Fy planteamos el seno del ángulo Beta en este caso :

seno β = Fy / F y despejando Fy, tenemos : Fy = F . seno β

Para concontrar Fx planteamos el coseno de Beta.

coseno β = Fx / F y despejando Fx, tenemos : Fx = F . coseno β

Esto es general, no importa donde esté la fuerza a descomponer, siempre que usemos el ángulo con respecto al eje " X " ( de las abscisas), osea las componentes verticales, surgen de multimplicar a la fuerza dada por el seno del ángulo y las componentes horizontales, surgen de multiplicar a las fuerzas dadas por el coseno del ángulo con respecto al eje " X " .

Bueno, ya sabiendo como se descompone una fuerza, haré un ejemplo con tres fuerzas concurrentes.

F1 = 70 N con un angulo con " X " de 45°

F2 = 50 N con un angulo con " X " de 30°

F3 = 40 N con un angulo con " X " de 60°

Segun los pasos indicados mas arriba, descompongo las fuerzas.

1 )

F1y = 70 N . seno 45° = 70 N . 0,707 = 49,49 N

F1x = 70 N . coseno 45° = 70 N . 0,707 = 49,49 N

F2y = 50 N . seno 30° = 50 N . 0,5 = 25 N

F2x = 50 N . coseno 30° = 50 N . 0,866 = 43,3 N

F3y = 40 N . seno 60° = 40 N . 0,866 = 34,64 N

F3x = 40 N . coseno 60° = 40 N . 0,5 = 20 N

Hasta ahora lo que he hecho es descomponer todas las fuerzas segun los ejes cartesianos, quedando las originales F1, F2 y F3 reemplazadas por sus componenetes. Todo esto se puede ver en el siguiente gráfico (gif)

2 )

Las fuerzas que van hacia la derecha y hacia arriba son positivas (por convención) y las que van hacia la izquierda y hacia abajo negativas.

Ry = ∑ Fx = F1x + F2x + F3x

Ry = 49,49 N + ( - 25 N ) + 34,64 N

Ry = 49,49 N - 25 N + 34,64 N

Ry = 59,13 N

Rx = ∑ Fy = Fiy + F2y + F3y

Rx = 49,49 N + 43,3 N + ( - 20 N )

Rx = 49,49 N + 43,3 N - 20 N

Rx = 72,79 N

3 )

Ahora, con estas dos fuerzas que reemplazan a todas las componentes, calcularé la resultate final (el modulo o intensidad), por pitágoras.

R = √ ( Ry2 + Rx2 )

R = √ ( (59,13 N)2 + (72,79 N)2

R = √ ( 3496,36 N2 + 5298,38 N2 )

R = √ ( 8794,74 N2 )

R = 93,78 N

4 )

Por último, calcularé el ángulo que forma esta resultante, con respecto al eje " X " .

Tangente ω = ( Ry / Rx )

ω = Tang.-1 ( Ry / Rx )

Esta operación " Tang.-1 " se hace en la calculadora con " Shirt " y luego " tangente " .

ω = Tang.-1 ( 59,13 N / 72,79 N )

ω = Tang.-1 ( 0,812)

ω = 39° 5´

ω ≈ 39°

Aqui un gif para ver mejor estos ultimos pasos :

Método Gráfico

Para resolver un sistema de fuerzas concurrentes mediante el método gráfico, debemos graficar a las fuerzas usando una escala, que permite transformar los Newton o Kgf a centimetros.

Por ejemplo, una fuerza de 50 N en una escala de 10 N = 1 cm será graficada con una longitud de 5 cm.

Hay dos métodos para resolver (encontrar la resultante) un sistema de fuerzas concurrentes.

Método del Paralelogramo :

Consiste en trazar por el extremo de cada fuerza, direcciones paralelas a la otra fuerza (se hace entre dos fuerzas)

Veamos un dibujo de esto.

En donde ambas paralelas se cortan, tendremos el extremo de la resultante, cuyo origen es el origen de ambas fuerzas originales.

Para hallar el valor de dicha resultante, debemos medir con la regla la longitud de esta resultante y luego con la escala, llevarla a N o Kgf segun sea.

Por ejemplo, si nuestra resultante mide 9 cm, tendremos que el valor en Newton es 90 usando la escala 10 N = 1 cm.

Método de la Poligonal :

Este método es mejor mientras mas fuezas formen el sistema de fuerzas concurrentes.

El proceso consiste en trazar por el extremo de una de las fuerzas, otra fuerza (no importa cual) y a partir del extremo de esta última otra fuerza...y asi hasta usar todas.

Para hallar la resultante, debemos unir el origen de la primera con el extremo de la última.

El valor de dicha resultante se obtiene como antes...midiendo la longitud en centimetros y luego con la escala, pasarla a N o Kgf.

Veamos un dibujo con tres fuerzas.

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