Estática

La Estática es la parte de la mecánica que estudia el equilibrio de fuerzas.

Estática es la rama de la mecánica que analiza las cargas (fuerza, par / momento) en los sistemas físicos en equilibrio estático, es decir, en un estado en el que las posiciones relativas de los subsistemas no varían con el tiempo. Por la primera ley de Newton, esta situación implica que la red de la fuerza y el par neto (también conocido como momento de la fuerza) de cada organismo en el sistema es igual a cero. De esta limitación, las cantidades como la carga o la presión pueden ser derivadas. La red de fuerzas de igual a cero se conoce como la primera condición de equilibrio, y el par neto igual a cero se conoce como la segunda condición de equilibrio.

Análisis del equilibrio

Esquema de fuerzas y momentos en una viga en equilibrio.

La estática proporciona, mediante el empleo de la mecánica del sólido rígido, solución a los problemas denominados isostáticos. En estos problemas, es suficiente plantear las condiciones básicas de equilibrio, que son:

1. El resultado de la suma de fuerzas es nulo.
2. El resultado de la suma de momentos respecto a un punto es nulo.

• Estas dos condiciones, mediante el álgebra vectorial, se convierten en un sistema de ecuaciones; la resolución de este sistema de ecuaciones, es resolver la condición de equilibrio.
• Existen métodos de resolución de este tipo de problemas estáticos mediante gráficos, heredados de los tiempos en que la complejidad de la resolución de sistemas de ecuaciones se evitaba mediante la geometría, si bien actualmente se tiende al cálculo por ordenador.

Para la resolución de problemas hiperestáticos (aquellos en los que el equilibrio se puede alcanzar con distintas combinaciones de esfuerzos) es necesario considerar ecuaciones de compatibilidad. Dichas ecuaciones adicionales de compatibilidad se obtienen mediante la introducción de deformaciones y tensiones internas asociadas a las deformaciones mediante los métodos de la mecánica de sólidos deformables, que es una ampliación de la mecánica del sólido rígido que, además, da cuenta de la deformabilidad de los sólidos y sus efectos internos.

Existen varios métodos clásicos basados en la mecánica de sólidos deformables, como los teoremas de Castigliano o las fórmulas de Navier-Bresse.

Suma de fuerzas

Cuando sobre un cuerpo o sólido rígido actúan varias fuerzas que se aplican en el mismo punto, el cálculo de la fuerza resultante resulta trivial: basta sumarlas vectorialmente y aplicar el vector resultante en el punto común de aplicación.

Sin embargo, cuando existen fuerzas con puntos de aplicación diferentes es necesario determinar el punto de aplicación de la fuerza resultante. Para fuerzas no paralelas esto puede hacerse sumando las fuerzas dos a dos. Para ello se consideran dos de las fuerzas trazan rectas prolongando las fuerzas en ambos sentidos y buscando su intersección. Esa intersección será un punto de paso de la fuerza suma de las dos. A continuación se substituyen las dos fuerzas por una única fuerza vectorial suma de las dos anteriores aplicada en el punto de intersección. Esto se repite n-1 veces para un sistema de n fuerzas y se obtiene el punto de paso de la resultante.

Este algoritmo puede ser bastante pesado para un número de fuerzas elevado. Además cuando varias de las fuerzas son paralelas puede no funcionar. Para hacer más rápido el cálculo del punto de paso puede usarse en el caso de fuerzas coplanares el método del polígono funicular, que es computacionalmente más rápido y aplicable también al caso de que todas las fuerzas sean paralelas (y por tanto sus rectas de acción, sin puntos de intersección).

Aplicaciones

La estática abarca el estudio del equilibrio tanto del conjunto como de sus partes constituyentes, incluyendo las porciones elementales de material.

Uno de los principales objetivos de la estática es la obtención de esfuerzos cortantes, fuerza normal, de torsión y momento flector a lo largo de una pieza, que puede ser desde una viga de un puente o los pilares de un rascacielos.

Su importancia reside en que una vez trazados los diagramas y obtenidas sus ecuaciones, se puede decidir el material con el que se construirá, las dimensiones que deberá tener, límites para un uso seguro, etc., mediante un análisis de materiales. Por tanto, resulta de aplicación en ingeniería estructural, ingeniería mecánica, construcción, siempre que se quiera construir una estructura fija. Para el análisis de una estructura en movimiento es necesario considerar la aceleración de las partes y las fuerzas resultantes.

El estudio de la Estática suele ser el primero dentro del área de la ingeniería mecánica, debido a que los procedimientos que se realizan suelen usarse a lo largo de los demás cursos de ingeniería mecánica.

Sólidos y análisis estructural

La estática se utiliza en el análisis de las estructuras, por ejemplo, en arquitectura e ingeniería estructural. La resistencia de los materiales es un campo relacionado de la mecánica que depende en gran medida de la aplicación del equilibrio estático. Un concepto clave es el centro de gravedad de un cuerpo en reposo, que constituye un punto imaginario en el que reside toda la masa de un cuerpo. La posición del punto relativo a los fundamentos sobre los cuales se encuentra un cuerpo determina su estabilidad a los pequeños movimientos. Si el centro de gravedad se sitúa fuera de las bases y, a continuación, el cuerpo es inestable porque hay un par que actúa: cualquier pequeña perturbación hará caer al cuerpo. Si el centro de gravedad cae dentro de las bases, el cuerpo es estable, ya que no actúa sobre el par neto del cuerpo. Si el centro de gravedad coincide con los fundamentos, entonces el cuerpo se dice que es metaestable.

Para poder saber la fuerza que esta soportando cada parte de la estructura se utilizan dos medios de calculo:

• La comprobacion por nudos.
• La comprobacion por secciones.

Para lograr obtener cualquiera de estas dos comprobaciones debemos tomar en cuenta la sumatoria de fuerzas externas en la estructura (fuerzas en x y en y), para luego comenzar con la comprobación por nudos o por sección

Momento de fuerza

En mecánica newtoniana, se denomina momento de una fuerza (respecto a un punto dado) a una magnitud (pseudo)vectorial, obtenida como producto vectorial del vector de posición del punto de aplicación de la fuerza con respecto al punto al cual se toma el momento por la fuerza, en ese orden. También se le denomina momento dinámico o sencillamente momento.

Ocasionalmente, a partir del término inglés (torque), recibe el nombre de torque. Este término intenta introducirse en la terminología española, bajo las formas de torque o torca, aunque con escasa fortuna, ya que existe la denominación par que es la correcta en español.

Definición

Definición de momento de una fuerza con respecto a un punto.

El momento de una fuerza aplicada en un punto P con respecto de un punto O viene dado por el producto vectorial del vector por el vector fuerza; esto es,

Donde

es el vector que va desde O a P.

Por la propia definición del producto vectorial, el momento es un vector perpendicular al plano determinado por los vectores y .

Dado que las fuerzas tienen carácter de vectores deslizantes, el momento de una fuerza es independiente de su punto de aplicación sobre su recta de acción o directriz.

La definición de momento se aplica a otras magnitudes vectoriales. Así, por ejemplo, el momento de la cantidad de movimiento o momento lineal, , es el momento cinético o momento angular, , definido como

El momento de fuerza conduce a los concepto de par, par de fuerzas, par motor, etc.

Interpretación del momento

Relación entre los vectores de fuerza, momento de fuerza y vector de posición en un sistema rotatorio.

El momento de una fuerza con respecto a un eje da a conocer en qué medida existe capacidad en una fuerza o sistema de fuerzas para causar la rotación del cuerpo alrededor de un eje que pase por dicho punto.

El momento tiende a provocar un giro en el cuerpo sobre el cual se aplica y es una magnitud característica en elementos que trabajan sometidos a torsión (como los ejes de maquinaria) o a flexión (como las vigas).

Unidades

El momento dinámico se expresa en unidades de fuerza por unidades de distancia. En el Sistema Internacional de Unidades la unidad se denomina newton metro o newton-metro, indistintamente. Su símbolo debe escribirse como N m o N•m (nunca mN, que indicaría milinewton).

Si bien es dimensionalmente N·m parece equivaler al julio, no se utiliza esta unidad para medir momentos, ya que el julio conceptualmente es unidad de trabajo o energía, que son conceptualmente diferentes a un momento de fuerza. El momento de fuerza es una magnitud vectorial, mientras que la energía es una magnitud escalar.

No obstante, la equivalencia dimensional de ambas magnitudes no es una mera coincidencia. Un momento de 1 N•m aplicado a lo largo de una revolución completa ( radianes) realiza un trabajo igual a julios, ya que , donde es el trabajo, es el momento y es el ángulo girado (en radianes). Es esta relación la que podría motivar el nombre de “julios por radián” para la unidad de momento, aunque no es correcto.

Cálculo de momentos en el plano

Momento es igual a fuerza por su brazo.

Cuando se consideran problemas mecánicos bidimensionales, en los que todas las fuerzas y demás magnitudes vectoriales son coplanarias, el cálculo de momentos se simplifica notablemente. Eso se debe a que los momentos serían perpendiculares al plano de coplanariedad y, por tanto, sumar momentos se reduciría a sumar tan sólo sus componentes perpendiculares al plano, que son magnitudes escalares.

Si se considera una fuerza aplicada en un punto P del plano de trabajo y otro punto O sobre el mismo plano, el módulo del momento en O viene dado por:

siendo el módulo de la fuerza, el brazo de momento, es decir, la distancia a la que se encuentra el punto O (en el que tomamos momento) de la recta de aplicación de la fuerza, y el suplementario del ángulo que forman los dos vectores. El sentido de se determina de acuerdo con la regla de la mano derecha

Encuentro en MRUV

El encuentro en MRUV se resuelve de manera similar que en MRU, es decir igualando las posiciones de las ecuaciones horarias. Incluso podemos plantear encuentro entre un móvil con MRU y otro con MRUV utilizando la respectiva ecuación horaria de cada uno.

Dado que hay valores elevados al cuadrado es posible tener en algunos casos tener dos tiempos de encuentro distintos e incluso uno positivo y otro negativo.

Algunos ejemplos

Por ejemplo se podría dar el caso de que en un punto, un móvil que se mueve a velocidad constante pase a otro que se mueve en el mismo sentido a menor velocidad pero acelerando (que recién comience a moverse). Luego el segundo móvil aumentará su velocidad y lo volverá a pasar al primero, es decir hay 2 encuentros.

Otro caso podría ser el de dos móviles moviéndose en sentido contrario y desacelerando. Se cruzan una vez, luego siguen disminuyendo la velocidad hasta que se hace cero y luego comienzan a moverse en sentido contrario debido a que mantienen su misma aceleración. También se encuentran dos veces.

Tiro vertical y caída libre

Estos movimientos se resuelven con las mismas ecuaciones de MRUV, tomando como aceleración la de la gravedad de la tierra, que en vez de "a" la llamamos "g". También es un valor vectorial y su módulo es:



Su signo depende de como ubiquemos el sistema de referencia. Si el sistema lo ponemos creciente desde la tierra hacia arriba entonces g tiene signo negativo.

Debido a que trabajamos con sistemas coordenados, utilizamos la misma fórmula para el tiro vertical que para la caída libre (que además son las mismas formulas que utilizamos para todo MRUV). Tomamos positiva la aceleración cuando la velocidad aumenta en el sentido que crece el sistema de referencia y negativa en el otro caso.

Tiro Vertical

El tiro vertical corresponde al movimiento en el cual se lanza un objeto en línea recta hacia arriba con una velocidad inicial.

Caída Libre

La caída libre corresponde al movimiento en dónde se deja caer un objeto desde arriba. El siguiente gráfico corresponde a la velocidad durante la caída libre, poniendo un sistema de coordenadas con el origen en el piso y dirigido hacia arriba, es decir la velocidad tiene signo negativo.

Con esta disposición, la aceleración también tiene signo negativo. En el gráfico consideramos velocidad inicial nula. Si realizamos un ejercicio completo de tiro vertical y caída libre, hay que tener en cuenta que en el tiro vertical sí tenemos velocidad inicial, pero la caída libre es otro movimiento que comienza justamente cuando esa velocidad es cero. De todas formas la caída libre también puede tener velocidad inicial en otros casos.

Características del tiro vertical y la caída libre

En ambos casos se toman en cuenta las velocidades iniciales y las distancias, pero no intervienen el peso o la masa para calcular la altura o el tiempo.

Debería importar la forma de los objetos con el fin de calcular el rozamiento con el aire (que ejerce una fuerza), pero no lo consideramos en estos ejercicios.

Para el tiro vertical, si utilizamos un sistema de referencia dirigido hacia arriba, la aceleración tiene signo negativo y velocidad inicial positiva. En la caída libre, con el mismo sistema de referencia, la velocidad es negativa (en aumento) y la aceleración no cambia de signo (con ese sistema seguiría siendo negativa).

Movimiento circular uniforme

El Movimiento Circular Uniforme es aquel en el que el móvil se desplaza en una trayectoria circular (una circunferencia o un arco de la misma) a una velocidad constante. Se consideran dos velocidades, la rapidez del desplazamiento del móvil y la rapidez con que varía el ángulo en el giro.

Velocidad tangencial en MCU

La velocidad tangencial es la velocidad del móvil (distancia que recorre en el tiempo). Por lo tanto para distintos radios y a la misma velocidad angular, el móvil se desplaza a distintas velocidades tangenciales. A mayor radio y a la misma cantidad de vueltas por segundo, el móvil recorre una trayectoria mayor, porque el perímetro de esa circunferencia es mayor y por lo tanto la velocidad tangencial también es mayor. La velocidad tangencial se mide en unidades de espacio sobre unidades de tiempo, por ejemplo [m/s], [km / h], etc. Se calcula como la distancia recorrida en un período de tiempo.




Por ejemplo si se recorre todo el perímetro de una circunferencia de radio 5 metros en 1 segundo, la velocidad tangencial es:

Ecuación de la velocidad tangencial

La ecuación que se utiliza para calcular la velocidad tangencial se expresa como la velocidad angular por el radio.



Para el ejemplo anterior la calculamos como:



En MCU la velocidad tangencial es constante (en módulo) para un mismo punto. A mayor distancia del eje, la velocidad tangencial aumenta. Su dirección varía continuamente, teniendo siempre la misma dirección que la recta tangente al punto en donde se encuentre el móvil.

Frecuencia y período

Frecuencia

La frecuencia mide la cantidad de vueltas que se dan en un período de tiempo (normalmente un segundo). La unidad más común es el Hertz. Un Hertz equivale a una vuelta en un segundo (1 / s).

Período

El período mide el tiempo que se tarde en dar una vuelta completa y se mide en segundos. Es la inversa de la frecuencia.



De la misma forma la frecuencia se puede calcular como la inversa del período.

Principio de Arquímedes

Todo cuerpo sumergido en un líquido recibe un empuje de abajo hacia arriba de igual magnitud que el peso del líquido que desaloja.


Del principio de Arquímedes se deduce la condición de flotabilidad. Si el peso del líquido desalojado (es decir el empuje) es menor que el peso, entonces el cuerpo no flota y se hunde. Si en cambio desaloja la suficiente cantidad de líquido para igualar su peso el cuerpo flota. Si el empuje fuese mayor al peso del cuerpo entonces parte del cuerpo queda fuera de la superficie y parte del cuerpo queda sumergido (tanto como para producir un empuje igual al peso del cuerpo).

Densidad y peso específico

Densidad de un líquido

La densidad es la cantidad de masa por unidad de volumen. Se denomina con la letra ρ. En el sistema internacional se mide en kilogramos / metro cúbico.

Peso específico de un líquido

El peso específico de un fluido se calcula como su peso sobre una unidad de volumen (o su densidad por g) . En el sistema internacional se mide en Newton / metro cúbico.

Prensa hidráulica

La prensa hidráulica es una máquina que se basa en el principio de Pascal para transmitir una fuerza. Aprovechando que la presión es la misma, una pequeña fuerza sobre una superficie chica es equivalente a una fuerza grande sobre una superficie también grande, proporcionalmente iguales.




P1 = P2



P1, P2 = Presiones en 1 y en 2
F1, F2 = Fuerzas 1 y 2
S1, S2 = Superficies 1 y 2

FUERZAS CONCURRENTES_RESOLUCION

FUERZAS CONCURRENTES_RESOLUCION

De los tres sistemas de fuerzas (colineales, concurrentes y paralelas) los que mas problemas traen a mis alumnos, son los sistemas de fuerzas concurrentes, por ello es le primer sistema de fuerzas que analizaré.

Existen dos formas de resolver un sistema de fuerzas concurrrentes, el analítico y el gráfico.

Método Analítico

Los pasos que seguiré, con un ejemplo, son los siguientes :

1 ) Descomposición de las fuerzas, segun los ejes cartesianos ortogonales (perpendiculares) " X " e " Y " mediante trigonometria (seno y coseno)

2 ) Sumatoria (suma o resta) de las fuerzas colineales (sobre los ejes) para obtener las resultantes " Rx " y " Ry " sobre cada eje.

3 ) Composición de estas dos fuerzas ( Rx y Ry ) por pitagoras, para hallar el modulo o valor de la resultante " R " .

4 ) Calculo del ángulo ( dirección ) que la resultante forma con el eje de las " X " ( ω ) con la función tangente.

Para descomponer una fuerza segun los dos ejes coodenador o cartesianos, debemos entender que entre la fuerza y sus componentes (que la van a sustituir o reemplazar) forman un triángulo rectangular.

Es asi, que para encontrar Fy planteamos el seno del ángulo Beta en este caso :

seno β = Fy / F y despejando Fy, tenemos : Fy = F . seno β

Para concontrar Fx planteamos el coseno de Beta.

coseno β = Fx / F y despejando Fx, tenemos : Fx = F . coseno β

Esto es general, no importa donde esté la fuerza a descomponer, siempre que usemos el ángulo con respecto al eje " X " ( de las abscisas), osea las componentes verticales, surgen de multimplicar a la fuerza dada por el seno del ángulo y las componentes horizontales, surgen de multiplicar a las fuerzas dadas por el coseno del ángulo con respecto al eje " X " .

Bueno, ya sabiendo como se descompone una fuerza, haré un ejemplo con tres fuerzas concurrentes.

F1 = 70 N con un angulo con " X " de 45°

F2 = 50 N con un angulo con " X " de 30°

F3 = 40 N con un angulo con " X " de 60°

Segun los pasos indicados mas arriba, descompongo las fuerzas.

1 )

F1y = 70 N . seno 45° = 70 N . 0,707 = 49,49 N

F1x = 70 N . coseno 45° = 70 N . 0,707 = 49,49 N

F2y = 50 N . seno 30° = 50 N . 0,5 = 25 N

F2x = 50 N . coseno 30° = 50 N . 0,866 = 43,3 N

F3y = 40 N . seno 60° = 40 N . 0,866 = 34,64 N

F3x = 40 N . coseno 60° = 40 N . 0,5 = 20 N

Hasta ahora lo que he hecho es descomponer todas las fuerzas segun los ejes cartesianos, quedando las originales F1, F2 y F3 reemplazadas por sus componenetes. Todo esto se puede ver en el siguiente gráfico (gif)

2 )

Las fuerzas que van hacia la derecha y hacia arriba son positivas (por convención) y las que van hacia la izquierda y hacia abajo negativas.

Ry = ∑ Fx = F1x + F2x + F3x

Ry = 49,49 N + ( - 25 N ) + 34,64 N

Ry = 49,49 N - 25 N + 34,64 N

Ry = 59,13 N

Rx = ∑ Fy = Fiy + F2y + F3y

Rx = 49,49 N + 43,3 N + ( - 20 N )

Rx = 49,49 N + 43,3 N - 20 N

Rx = 72,79 N

3 )

Ahora, con estas dos fuerzas que reemplazan a todas las componentes, calcularé la resultate final (el modulo o intensidad), por pitágoras.

R = √ ( R_y² + R_x² )

R = √ ( (59,13 N)² + (72,79 N)²

R = √ ( 3496,36 N² + 5298,38 N² )

R = √ ( 8794,74 N² )

R = 93,78 N

4 )

Por último, calcularé el ángulo que forma esta resultante, con respecto al eje " X " .

Tangente ω = ( Ry / Rx )

ω = Tang.^-1 ( Ry / Rx )

Esta operación " Tang.^-1 " se hace en la calculadora con " Shirt " y luego " tangente " .

ω = Tang.^-1 ( 59,13 N / 72,79 N )

ω = Tang.^-1 ( 0,812)

ω = 39° 5´

ω ≈ 39°

Aqui un gif para ver mejor estos ultimos pasos :

Método Gráfico

Para resolver un sistema de fuerzas concurrentes mediante el método gráfico, debemos graficar a las fuerzas usando una escala, que permite transformar los Newton o Kgf a centimetros.

Por ejemplo, una fuerza de 50 N en una escala de 10 N = 1 cm será graficada con una longitud de 5 cm.

Hay dos métodos para resolver (encontrar la resultante) un sistema de fuerzas concurrentes.

Método del Paralelogramo :

Consiste en trazar por el extremo de cada fuerza, direcciones paralelas a la otra fuerza (se hace entre dos fuerzas)

Veamos un dibujo de esto.

En donde ambas paralelas se cortan, tendremos el extremo de la resultante, cuyo origen es el origen de ambas fuerzas originales.

Para hallar el valor de dicha resultante, debemos medir con la regla la longitud de esta resultante y luego con la escala, llevarla a N o Kgf segun sea.

Por ejemplo, si nuestra resultante mide 9 cm, tendremos que el valor en Newton es 90 usando la escala 10 N = 1 cm.

Método de la Poligonal :

Este método es mejor mientras mas fuezas formen el sistema de fuerzas concurrentes.

El proceso consiste en trazar por el extremo de una de las fuerzas, otra fuerza (no importa cual) y a partir del extremo de esta última otra fuerza...y asi hasta usar todas.

Para hallar la resultante, debemos unir el origen de la primera con el extremo de la última.

El valor de dicha resultante se obtiene como antes...midiendo la longitud en centimetros y luego con la escala, pasarla a N o Kgf.

Veamos un dibujo con tres fuerzas.

Velocidad en movimiento rectilíneo uniforme

La velocidad es una magnitud vectorial que mide con que rapidez varía la posición de un móvil en el tiempo. En MRU es constante y su signo depende del sentido hacia dónde se mueva el móvil respecto a como definimos el sistema de referencia.

En el siguiente diagrama los móviles 1 y 2 tienen velocidad positiva (se dirigen en sentido positivo, independientemente de su posición) mientras que la velocidad de 3 es de signo negativo.




La velocidad la calculamos como la variación de la posición sobre la variación del tiempo. Para calcular el módulo de la velocidad:




Como generalmente contamos el tiempo desde cero (es decir cuanto se tarda desde que empezamos a medir) muchas veces escribimos a la velocidad como:



O bien si no utilizamos una referencia y sabemos cuanto espacio se recorrió y en que tiempo la escribimos como:




El módulo de la velocidad se mide en unidades de espacio sobre unidades de tiempo, por ejemplo [m/s], [km/h]. Para la resolución de ejercicios de manera simple, es recomendable pasar todo a [m/s] y utilizar notación exponencial si fuesen números muy grandes o muy chicos.

Ejemplos

1) Si un móvil se encuentra en la posición X = 30 metros en el momento en que empezamos a contar el tiempo y 10 segundos después se encuentra en la posición X = 60 metros, entonces sabemos que su velocidad es de 3 [m/s] (*) y su gráfico es:






(*) En realidad podríamos decir que la velocidad siempre es positiva dado que avanza una cierta distancia por cada unidad de tiempo, pero dado un determinado sistema de referencia, si el móvil se desplaza para el lado negativo decimos que tiene velocidad negativa.

2) Si un móvil se encuentra en la posición X = 30 metros en el instante 0 y 5 segundos después se encuentra en la posición X = 10 metros (es decir se acercó al origen) su velocidad es de -4 [m/s] y su gráfico es:







Debido a que estos gráficos son de la velocidad, no tomamos en cuenta la posición del móvil. El gráfico de la velocidad es independiente del lugar en dónde se encuentre. No importa si está del lado positivo o negativo, si sale o no desde origen, etc. Lo que sí nos importa es hacia dónde se mueve debido a que determina el signo de la velocidad.